Расстояние между точками по географическим координатам. Расчет расстояний между городами по их координатам. Расстояние между двумя точками в пространстве

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: A A A и B B B . Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка A B AB A B . Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b| A B = ∣ a − b ∣ ,

где a , b a, b a , b - координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a| ∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка A A A , координата которой равна 9 9 9 и точка B B B с координатой − 1 -1 − 1 . Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a = 9 , b = − 1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10 A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Ответ

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось O X OX O X и на ось O Y OY O Y . Затем рассматривается треугольник A B C ABC A B C . Так как он является прямоугольным ( B C BC B C перпендикулярно A C AC A C ), то найти отрезок A B AB A B , он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 A B 2 = A C 2 + B C 2

Но, исходя из того, что длина A C AC A C равна x B − x A x_B-x_A x B − x A , а длина B C BC B C равна y B − y A y_B-y_A y B − y A , эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} A B = (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 ,

где x A , y A x_A, y_A x A , y A и x B , y B x_B, y_B x B , y B - координаты точек A A A и B B B соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками C C C и F F F , если координаты первой (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , а второй - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Решение

X C = 8 x_C=8 x C = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C = − 1
x F = 4 x_F=4 x F = 4
y F = 2 y_F=2 y F = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=\sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 C F = (x F − x C ) 2 + (y F − y C ) 2 = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 = 1 6 + 9 = 2 5 = 5

Ответ

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} A B = (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2

Пример 3

Найти длину отрезка $F K в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (- 1; - 1; 8) и (- 3; 6; 0) . Ответ округлить до целого числа.$

Решение

$F = (- 1; - 1; 8) K = (- 3; 6; 0)$

$FK=\sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=\sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=\sqrt{117}\approx10.8$

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Пусть задана прямоугольная система координат.

Теорема 1.1. Для любых двух точек М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) плоскости расстояние d между ними выражается формулой

Доказательство. Опустим из точек М 1 и М 2 перпендикуляры М 1 В и М 2 А соответственно

на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М 1 В и М 2 А (рис. 1.4). Возможны следующие случаи:

1)Точки М 1 , М 2 и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х 2 ;у 1). Нетрудно заметить что М 1 К = ôх 2 – х 1 ô, М 2 К = ôу 2 – у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М 1 М 2 = = .

2) Точка К совпадает с точкой М 2 , но отлична от точки М 1 (рис. 1.5). В этом случае у 2 = у 1

и d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 – х 1 ô= =

3) Точка К совпадает с точкой М 1 , но отлична от точки М 2 . В этом случае х 2 = х 1 и d =

М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô= = .

4) Точка М 2 совпадает с точкой М 1 . Тогда х 1 = х 2 , у 1 = у 2 и

d = М 1 М 2 = О = .

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М 1 М 2 и пусть М ─ любая точка этого

отрезка, отличная от точки М 2 (рис. 1.6). Число l, определяемое равенством l = , называется отношением, в котором точка М делит отрезок М 1 М 2 .

Теорема 1.2. Если точка М(х;у) делит отрезок М 1 М 2 в отношении l, то координаты этой определяются формулами

х = , у = , (4)

где (х 1 ;у 1) ─ координаты точки М 1 , (х 2 ;у 2) ─ координаты точки М 2 .

Доказательство. Докажем первую из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.

х = х 1 = = = .

2) Прямая М 1 М 2 не перпендикулярна оси Ох (рис. 1.6). Опустим перпендикуляры из точек М 1 , М, М 2 на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р 1 , Р, Р 2 . По теореме о пропорциональных отрезках = l.

Т.к. Р 1 Р = ôх – х 1 ô, РР 2 = ôх 2 – хô и числа (х – х 1) и (х 2 – х) имеют один и тот же знак (при х 1 < х 2 они положительны, а при х 1 > х 2 отрицательны), то

х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2 ,

х = .

Следствие 1.2.1. Если М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М 1 М 2 , то

х = , у = (5)

Доказательство. Так как М 1 М = М 2 М, то l = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).

Площадь треугольника.

Теорема 1.3. Для любых точек А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) и С(х 3 ;у 3), не лежащих на одной

прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой

S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)

Доказательство. Площадь ∆ АВС, изображённого на рис. 1.7, вычисляем следующим

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Вычисляем площади трапеций:

S ADEC =
,

S BCEF =

Теперь имеем

S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –

Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)(у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –

- (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)).

Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.

Лекция 2.

Уравнение прямой линии на плоскости: уравнение прямой с главным коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2.1. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая линия L.

Определение 2.1. Уравнение вида F(x;y) = 0, связывающее переменные величины x и y, называется уравнение линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой.

Примеры уравнений линий на плоскости.

1) Рассмотрим прямую, параллельную оси Oy прямоугольной системы координат (рис. 2.1). Обозначим буквой A точку пересечения этой прямой с осью Ox, (a;o) ─ её ор-

Динаты. Уравнение x = a является уравнением данной прямой. Действительно, этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(a;y) этой прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на прямой. Если a = 0, то прямая совпадает с осью Oy, которая имеет уравнение x = 0.

2) Уравнение x - y = 0 определяет множество точек плоскости, составляющих биссектрисы I и III координатных углов.

3) Уравнение x 2 - y 2 = 0 ─ это уравнение двух биссектрис координатных углов.

4) Уравнение x 2 + y 2 = 0 определяет на плоскости единственную точку O(0;0).

5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.

Здравствуйте,

Используется PHP:

С уважением, Александр.

Здравствуйте,

Уже достаточное время мучаюсь с проблемой: пытаюсь рассчитать расстояние между двумя произвольными точками, которые находятся на удалении от 30 до 1500 метров друг от друга.

Используется PHP:

$cx=31.319738; //координата x первой точки
$cy=60.901638; //координата y первой точки
$x=31.333312; //координата x второй точки
$y=60.933981; //координата y второй точки
$mx=abs($cx-$x); //высчитываем разницу иксов (первый катет прямоугольного треугольника), функция abs(x) - возвращает модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //высчитываем разницу игреков (второй катет прямоугольного треугольника)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Получаем расстояние до метро (длину гипотенузы по правилу гипотенуза равна корню из суммы квадратов катетов)

Если непонятно, поясняю: я представляю, что расстояние между двумя точками - это гипотенуза прямоугольного треугольника. Тогда разница между иксами каждой из двух точек будет одним из катетов, а другим катетом будет разница игреков этих же двух точек. Тогда, посчитав разницы иксов и игреков, можно по формуле вычислить длину гипотенузы (т.е. расстояние между двумя точками).

Я знаю, что это правило хорошо работает для декартовой системы координат, однако, оно должно более-менее работать и через координаты longlat, т.к. измеряемое расстояние между двумя точками пренебрежимо мало (от 30 до 1500 метров).

Однако, расстояние по данному алгоритму вычисляется неверно (например, расстояние1, расчитанное по этому алгоритму, превышает расстояние2 всего на 13%, тогда как в реальности расстояние1 равно 1450 метров, я расстояние2 равно 970 метров, то есть на самом делие разница достигает почти 50%).