Определить максимальное напряжение в сечении бруса формула. В поперечных сечениях бруса. Нахождение опасного сечения. Касательные напряжения в поперечном сечении балки. Формула Журавского

При растяжении (сжатин) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил о, dA - продольная сила N - может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон нх распределения по поперечному сечению бруса.

Эта задача решается на основе протезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит:

сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ося и при деформации.

При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности которого нанесена система продольнь1х и поперечных рисок (рис. 2.7,а), можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь

где А - площадь поперечного сечения бруса. Опуская индекс z, окончательно получаем

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряженна положительными.

Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 2.9).

Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом:

распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.

В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.

Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих главах курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил.

В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией напряжений, которую в этой главе учитывать не будем.

В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика - эпюры нормальных напряжений.

П ри мер 2.3. Для бруса со ступенчато-переменным поперечным сечением (рис. 2.10,а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного гонца. Границами участков являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения, т. е. брус имеет пять участков. При построении только эпюры N следовало бы разбить брус лишь на три участка.

Применяя метод сечений, определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим соответствующую эпюру (рис. 2.10,6). Построение эпюры И принципиально ничем не отличается от рассмотренного в примере 2.1, поэтому подробности этого построения опускаем.

Нормальные напряжения вычислим по формуле (2.1), подставляя значения сил в ньютонах, а площадей - в квадратных метрах.

В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке - прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.10, в). Для расчетов на прочность интерес представляют в первую очередь те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпадают с теми сечениями, где продольные силы максимальны.

В тех случаях, когда сечение бруса по всей длине постоянно, эпюра а подобна эпюре N и отличается от нее только масштабом, поэтому, естественно, имеет смысл построение лишь одной из указанных эпюр.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называетсячистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь. Смотрите условие прочности при плоском изгибе. ри расчете балки на изгиб одной из важнейших является задача определения еепрочности. Плоский изгиб называется поперечным, если в поперечных сеченияхбалкивозникает двавнутренних силовых фактора: М – изгибающий момент и Q – поперечная сила, и чистым, если возникает только М. В поперечном изгибе силовая плоскость проходит через ось симметрии балки, являющейся одной из главных осей инерции сечения.

При изгибе балки одни слои ее растягиваются, другие сжимаются. Между ними находится нейтральный слой, который лишь искривляется, не изменяя при этом своей длины. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения совпадает со второй главной осью инерции и называется нейтральной линией (нейтральной осью).

От действия изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения, определяемые по формуле

где М – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

I – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;

у – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяются напряжения.

Как видно из формулы (8.1), нормальные напряжения в сечении балки по ее высоте линейны, достигая максимального значения в наиболее удаленных точках от нейтрального слоя.

где W – момент сопротивления поперечного сечения балки относитель¬но нейтральной оси.

27.Касательные напряжения в поперечном сечении балки. Формула Журавского.

Формула Журавского позволяет определить касательные напряженияпри изгибе, возникающие в точках поперечного сечении балки, находящиеся на расстоянии отнейтральной осиx.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЖУРАВСКОГО

Вырежем из балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.10, а) элемент длиной и дополнительным продольным сечением рассечем на две части (рис. 7.10, б).

Рассмотрим равновесие верхней части: из-за отличия изгибающих моментов возникают разные сжимающие напряжения. Чтобы эта часть балки находилась в равновесии () в ее продольном сечении должна возникнуть касательная сила. Уравнение равновесия части балки:

где интегрирование ведется только по отсеченной части площади поперечного сечения балки (на рис. 7.10, в заштрихована),– статический момент инерции отсеченной (заштрихованной) части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x.

Предположим: касательные напряжения (), возникающие в продольном сечении балки, равномерно распределены по ее ширине () в месте сечения:

Получим выражение для касательных напряжений:

, а , тогдаформула касательных напряжений (), возникающих в точках поперечного сечения балки, находящихся на расстоянииy от нейтральной оси x:

Формула Журавского

Формула Журавского получена в 1855 г. Д.И. Журавским, поэтому носит его имя.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

здесь - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке - площадь поперечного сечения бруса.

Произведение представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.

Величину продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений а в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой а).

Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений а (например, при эпюрах а, изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.

Проведем на боковой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой Р эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную в конце § 6.1.

Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси.

Два любых поперечных сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой.

Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину а за знак интеграла. Таким образом,

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном, растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения равную полной площади уменьшенной на величину площади ослабления

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим а угол между наклонным сечением и поперечным сечением (рис. 6.2, а). Угол а условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением (рис. 6.2, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила действующая в сечении равна Р. Здесь - площадь наклонного сечения равная (где - площадь поперечного сечения бруса).

Следовательно,

где - нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное перпендикулярное к плоскости сечения и касательное та, параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).

Значения и та получим из выражений

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение та, а на рис. 6.2, г - отрицательное.

Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения имеют значения от (при до нуля (при а ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Косым называют такой вид изгиба, при котором все внешние нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной силовой плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей.

Рассмотрим брус, защемленный одним концом и загруженный на свободном конце силой F (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Расчетная схема к косому изгибу

Внешняя сила F приложена под углом к оси y. Разложим силу F на составляющие, лежащие в главных плоскостях бруса, тогда:

Изгибающие моменты в произвольном сечении, взятом на расстоянии z от свободного конца, будут равны:

Таким образом, в каждом сечении бруса одновременно действуют два изгибающих момента, которые создают изгиб в главных плоскостях. Поэтому косой изгиб можно рассматривать как частный случай пространственного изгиба.

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса при косом изгибе определяются по формуле

Для нахождения наибольших растягивающих и сжимающих нормальных напряжений при косом изгибе необходимо выбрать опасное сечение бруса.

Если изгибающие моменты |М х | и |М у | достигают наибольших значений в некотором сечении, то это и есть опасное сечение. Таким образом,

К опасным сечениям относятся также сечения, где изгибающие моменты |М х | и |М у | одновременно достигают достаточно больших значений. Поэтому при косом изгибе может быть несколько опасных сечений.

В общем случае, когда – несимметричное сечение, т. е. нейтральная ось не перпендикулярна силовой плоскости. Для симметричных сечений косой изгиб невозможен.

11.3. Положение нейтральной оси и опасных точек

в поперечном сечении. Условие прочности при косом изгибе.

Определение размеров поперечного сечения.

Перемещения при косом изгибе

Положение нейтральной оси при косом изгибе определяется по формуле

где угол наклона нейтральной оси к оси х ;

Угол наклона силовой плоскости к оси у (рис. 11.3).

В опасном сечении бруса (в заделке, рис. 11.3) напряжения в угловых точках определяются по формулам:

При косом изгибе, как и при пространственном, нейтральная ось делит сечение бруса на две зоны – зону растяжения и зону сжатия. Для прямоугольного сечения эти зоны показаны на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Схема сечения защемленного бруса при косом изгибе

Для определения экстремальных растягивающих и сжимающих напряжений необходимо провести касательные к сечению в зонах растяжения и сжатия, параллельные нейтральной оси (рис. 11.4).

Наиболее удаленные от нейтральной оси точки касания А и С – опасные точки в зонах сжатия и растяжения соответственно.

Для пластичных материалов, когда расчетные сопротивления материала бруса при растяжении и сжатии равны между собой, т. е. [σ р ] = = [σ c ] = [σ ], в опасном сечении определяется и условие прочности можно представить в виде

Для симметричных сечений (прямоугольник, двутавровое сечение) условие прочности имеет следующий вид:

Из условия прочности вытекает три вида расчетов:

Проверочный;

Проектировочный – определение геометрических размеров сечения;

Определение несущей способности бруса (допускаемой нагрузки).

Если известно соотношение между сторонами поперечного сечения, например, для прямоугольника h = 2b , то из условия прочности защемленного бруса можно определить параметры b и h следующим образом:

или

окончательно .

Аналогичным образом определяются параметры любого сечения. Полное перемещение сечения бруса при косом изгибе с учетом принципа независимости действия сил определяется, как геометрическая сумма перемещений в главных плоскостях.

Определим перемещение свободного конца бруса. Воспользуемся способом Верещагина. Вертикальное перемещение находим перемножением эпюр (рис. 11.5) по формуле

Аналогично определим горизонтальное перемещение:

Тогда полное перемещение определим по формуле

Рис. 11.5. Схема для определения полного перемещения

при косом изгибе

Направление полного перемещения определяется углом β (рис. 11.6):

Полученная формула идентична формуле для определения положения нейтральной оси сечения бруса. Это позволяет сделать вывод, что , т. е. направление прогиба перпендикулярно нейтральной оси. Следовательно, плоскость прогибов не совпадает с плоскостью нагружения.

Рис. 11.6. Схема для определения плоскости прогиба

при косом изгибе

Угол отклонения плоскости прогиба от главной оси y будет тем большим, чем большим будет перемещение. Поэтому для бруса с упругим сечением, у которого отношение J x /J y велико, косой изгиб опасен, так как вызывает большие прогибы и напряжения в плоскости наименьшей жесткости. Для бруса, у которого J x = J y , суммарный прогиб лежит в силовой плоскости и косой изгиб невозможен.

11.4. Внецентренное растяжение и сжатие бруса. Нормальные

напряжения в поперечных сечениях бруса

Внецентренным растяжением (сжатием ) называется такой вид деформации, при котором растягивающая (сжимающая) сила параллельна продольной оси бруса, но точка ее приложения не совпадает с центром тяжести поперечного сечения.

Такой тип задач часто применяется в строительстве при расчете колонн зданий. Рассмотрим внецентренное сжатие бруса. Обозначим координаты точки приложения силы F через х F и у F , а главные оси поперечного сечения – через х и у. Ось z направим таким образом, чтобы координаты х F и у F были положительными (рис. 11.7, а)

Если перенести силу F параллельно самой себе из точки С в центр тяжести сечения, то внецентренное сжатие можно представить как сумму трех простых деформаций: сжатия и изгиба в двух плоскостях (рис. 11.7, б). При этом имеем:

Напряжения в произвольной точке сечения при внецентренном сжатии, лежащей в первом квадранте, с координатами x и y можно найти исходя из принципа независимости действия сил:

квадраты радиусов инерции сечения, то

где x и y – координаты точки сечения, в которой определяется напряжение.

При определении напряжений необходимо учитывать знаки координат как точки приложения внешней силы, так и точки, где определяется напряжение.

Рис. 11.7. Схема бруса при внецентренном сжатии

В случае внецентренного растяжения бруса в полученной формуле следует заменить знак «минус» на знак «плюс».

Растяжение (сжатие) – это вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

При растяжении и сжатии внешние силы приложены вдоль продольной оси z (рисунок 109).

Рисунок 109

Применяя метод сечений, можно определить величину ВСФ – продольную силу N при простом нагружении .

Внутренние силы (напряжения), возникающие в произвольном поперечном сечении при растяжении (сжатии), определяются с помощью гипотезы плоских сечений Бернулли:

Сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси до нагружения, остается таким же и при нагружении.

Отсюда следует, что волокна бруса (рисунок 110) удлиняются на одинаковые величины. Значит внутренние силы (т.е. напряжения), действующие на каждое волокно будут одинаковы и распределены по сечению равномерно.

Рисунок 110

Так как N – равнодействующая внутренних сил, то N = σ · А, згачит нормальные напряжения σ при растяжении и сжатии определяются по формуле:

[Н/мм 2 = МПа], (72)

где А – площадь поперечного сечения.

Пример 24. Два стержня: круглого сечения диаметром d = 4 мм и квадратного сечения со стороной 5 мм растягиваются одинаковой силой F = 1000 Н. Какой из стержней больше нагружен?

Дано : d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 Н.

Определить : σ 1 и σ 2 – в стержнях 1 и 2.

Решение :

При растяжении продольная сила в стержнях N = F = 1000 Н.

Площади поперечных сечений стержней:

; .

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней:

, .

Так как σ 1 > σ 2 , то первый стержень круглого сечения нагружен больше.

Пример 25. Трос, свитый из 80 проволочек диаметром 2 мм растягивается силой 5 кН. Определить напряжение в поперечном сечении.

Дано: к = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.

Определить: σ.

Решение:

N = F = 5 кН, ,

тогда .

Здесь А 1 – площадь сечения одной проволочки.

Примечание : сечение троса – не круг!

2.2.2 Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ по длине бруса

Для расчетов на прочность и жесткость сложно нагруженного бруса при растяжении и сжатии необходимо знать значения N и σ в различных поперечных сечениях.

Для этого строятся эпюры: эпюра N и эпюра σ.

Эпюра – это график изменения продольной силы N и нормальных напряжений σ по длине бруса.

Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части, т.е. по одну сторону от сечения

Внешние силы F, растягивающие брус и направленные в сторону от сечения, считаются положительными.

Порядок построения эпюр N и σ

1 Поперечными сечениями разбиваем брус на участки, границами которых являются:

а) сечения на концах бруса;

б) где приложены силы F;

в) где меняется площадь сечения А.

2 Нумеруем участки, начиная со

свободного конца.

3 Для каждого участка, используя метод

сечений определяем продольную силу N

и строим в масштабе эпюру N.

4 Определяем нормальное напряжение σ

на каждом участке и строим в

масштабе эпюру σ.

Пример 26. Построить эпюры N и σ по длине ступенчатого бруса (рисунок 111).

Дано: F 1 = 10 кН; F 2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2 ; А 2 = 2 см 2 .

Решение:

1) Разбиваем брус на участки, границами которых являются: сечения на концах бруса, где приложены внешние силы F, где меняется площадь сечении А – всего получилось 4 участка.

2) Нумеруем участки, начиная со свободного конца:

с I по IV. Рисунок 111

3) Для каждого участка, используя метод сечений, определяем продольную силу N.

Продольная сила N равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части бруса . Причем внешние силы F, растягивающие брус считаются положительными.

Таблица 13

4) Строим в масштабе эпюру N. Масштаб указываем только положительными величинами N, на эпюре знак «плюс» или «минус» (растяжение или сжатие) указывается в кружочке в прямоугольнике эпюры. Положительные величины N откладываются выше нулевой оси эпюры, отрицательные – ниже оси.

5) Проверка (устная): В сечениях, где приложены внешние силы F, на эпюре N будут вертикальные скачки, равные по величине этим силам.

6) Определяем нормальные напряжения в сечениях каждого участка :

; ;

; .

Строим в масштабе эпюру σ.

7) Проверка: Знаки N и σ одинаковы.

Подумай и ответь на вопросы

1) нельзя; 2) можно.

53 Зависят ли напряжения при растяжении (сжатии) стержней от формы их поперечного сечения (квадрат, прямоугольник, круг и др.)?

1) зависят; 2) не зависят.

54 Зависит ли величина напряжения в поперечном сечении от материала, из которого изготовлен стержень?

1) зависит; 2) не зависит.

55 Какие точки поперечного сечения круглого стержня нагружены больше при растяжении?

1) на оси бруса; 2) на поверхности круга;

3) во всех точках сечения напряжения одинаковы.

56 Стержни из стали и дерева с равной площадью поперечного сечения растягиваются одинаковыми силами. Будут ли равны возникающие в стержнях напряжения?

1) в стальном напряжение больше;

2) в деревянном напряжение больше;

3) в стержнях возникнут равные напряжения.

57 Для бруса (рисунок 112) построить эпюры N и σ, если F 1 = 2 кН; F 2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2 ; А 2 = 1,4 см 2 .